二次関数 $y = x^2 - 3x + 1$ の $1 < x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 3x + 1$ の $1 < x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 3x + 1$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 1$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

この式から、この二次関数の頂点の座標が$(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$であることがわかります。

頂点のx座標 $\frac{3}{2}$ は、与えられた範囲 $1 < x \le 3$ に含まれています。

次に、定義域の端点におけるyの値を求めます。

$x = 1$ のとき、$y = 1^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

ただし、$x=1$ は定義域に含まれないため、$x$を1に限りなく近づけた値における$y$の値は$-1$に限りなく近づくことになります。

$x = 3$ のとき、$y = 3^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$

$x = \frac{3}{2}$のとき(頂点)、 $y = -\frac{5}{4}$

したがって、定義域 $1 < x \le 3$ において、

$x = 3$のとき最大値 $y = 1$ をとります。

$x = \frac{3}{2}$のとき最小値 $y = -\frac{5}{4}$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値: 1

最小値: $-\frac{5}{4}$