与えられた数学の問題は、実数、式の計算、方程式、不等式など多岐にわたる。具体的には、分数を小数で表す問題、根号を含む式の計算、分母の有理化、連立不等式、絶対値を含む方程式と不等式を解く問題が含まれている。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、実数、式の計算、方程式、不等式など多岐にわたる。具体的には、分数を小数で表す問題、根号を含む式の計算、分母の有理化、連立不等式、絶対値を含む方程式と不等式を解く問題が含まれている。

2. 解き方の手順

(1) **分数を小数で表す:**

$\frac{1}{6}$ を小数で表す。これは筆算で計算するか、分数電卓を使用する。

$\frac{1}{6} = 0.1666...$ なので、近似値として $0.167$ などとする。

(2) **根号を含む式の計算:**

$|\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

$|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ (なぜなら $\sqrt{5} > 2$ より、$2-\sqrt{5}$ は負の数なので絶対値をとると符号が反転する)

$\sqrt{6} \times \sqrt{15} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10}$

$\sqrt{3} - \sqrt{27} = \sqrt{3} - \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \times 3} = 8 + 4\sqrt{3}$

(3) **分母の有理化:**

$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

(4) **整数部分と小数部分:**

$\sqrt{5} + 2$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とすると、

$2 < \sqrt{5} < 3$ なので、 $4 < \sqrt{5} + 2 < 5$ 。よって $a = 4$

$b = (\sqrt{5} + 2) - a = \sqrt{5} + 2 - 4 = \sqrt{5} - 2$

(5) **式の計算:**

$3\sqrt{7} + \sqrt{7} - 2\sqrt{7} = (3 + 1 - 2)\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{50} - 2\sqrt{32} + \sqrt{72} = \sqrt{25 \times 2} - 2\sqrt{16 \times 2} + \sqrt{36 \times 2} = 5\sqrt{2} - 2(4\sqrt{2}) + 6\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 8\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{6} = 2(3) - \sqrt{18} = 6 - \sqrt{9 \times 2} = 6 - 3\sqrt{2}$

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$

(6) **方程式・不等式:**

$|3x - 1| = 5$

$3x - 1 = 5$ または $3x - 1 = -5$

$3x = 6$ または $3x = -4$

$x = 2$ または $x = -\frac{4}{3}$

$|2x + 1| > 3$

$2x + 1 > 3$ または $2x + 1 < -3$

$2x > 2$ または $2x < -4$

$x > 1$ または $x < -2$

(7) **連立不等式:**

$4x - 7 > x + 2$ かつ $5x + 2 \geq 3x + 6$

$3x > 9$ かつ $2x \geq 4$

$x > 3$ かつ $x \geq 2$

よって $x > 3$

$3 - 2x < 3x - 2 \leq 10 + x$

$3 - 2x < 3x - 2$ かつ $3x - 2 \leq 10 + x$

$5 < 5x$ かつ $2x \leq 12$

$1 < x$ かつ $x \leq 6$

よって $1 < x \leq 6$

(8) **絶対値を含む方程式・不等式:**

$|x + 4| = 3x$

$x + 4 = 3x$ または $x + 4 = -3x$

$2x = 4$ または $4x = -4$

$x = 2$ または $x = -1$

$x = 2$ を元の式に代入すると、$|2 + 4| = 6 = 3(2)$ で成立。

$x = -1$ を元の式に代入すると、$|-1 + 4| = 3 = 3(-1)$ は成立しない。

よって $x = 2$

$|x - 3| \leq -2x$

まず、絶対値の定義から、 $-2x \geq 0$ つまり $x \leq 0$ でなければならない。

$-x + 3 \leq -2x$ かつ $x - 3 \leq -2x$

$x \leq -3$ かつ $3x \leq 3$

$x \leq -3$ かつ $x \leq 1$

条件 $x \leq 0$ と合わせて、$x \leq -3$

(9) **不等式:**

与えられた不等式を解く。

解答欄に示されている解答と比較し、正しいものを選択する。

3. 最終的な答え

(1) 0.167

(2) $\sqrt{3}$, $\sqrt{5} - 2$

(3) $3\sqrt{10}$, $-2\sqrt{3}$, $8 + 4\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{2}}{6}$, $\sqrt{3} + 1$

(5) 4, $\sqrt{5} - 2$

(1) $2\sqrt{7}$

(2) $3\sqrt{2}$

(3) $6 - 3\sqrt{2}$

(4) 5

(5) $x = 2, x = -\frac{4}{3}$

(6) $x > 1, x < -2$

(1) $x > 3$

(2) $1 < x \leq 6$

(1) $x = 2$

(2) $x \leq -3$