## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

153番の問題は、放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので、点 $(0, -2)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 6$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

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2. 解き方の手順

1. 平行移動した放物線の方程式を $y = 2(x - p)^2 + q$ とおきます。これは、$y = 2x^2$ を $x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動した形です。

2. 頂点の座標は $(p, q)$ です。これが直線 $y = 2x - 6$ 上にあるので、$q = 2p - 6$ が成り立ちます。

3. 放物線が点 $(0, -2)$ を通るので、$x = 0, y = -2$ を $y = 2(x - p)^2 + q$ に代入します。

$$-2 = 2(0 - p)^2 + q$$

$$-2 = 2p^2 + q$$

4. $q = 2p - 6$ を $-2 = 2p^2 + q$ に代入します。

$$-2 = 2p^2 + (2p - 6)$$

$$2p^2 + 2p - 4 = 0$$

$$p^2 + p - 2 = 0$$

$$(p + 2)(p - 1) = 0$$

したがって、$p = -2$ または $p = 1$

5. $p = -2$ のとき、$q = 2p - 6 = 2(-2) - 6 = -10$。よって、放物線の方程式は $y = 2(x + 2)^2 - 10 = 2(x^2 + 4x + 4) - 10 = 2x^2 + 8x + 8 - 10 = 2x^2 + 8x - 2$

6. $p = 1$ のとき、$q = 2p - 6 = 2(1) - 6 = -4$。よって、放物線の方程式は $y = 2(x - 1)^2 - 4 = 2(x^2 - 2x + 1) - 4 = 2x^2 - 4x + 2 - 4 = 2x^2 - 4x - 2$

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3. 最終的な答え

放物線の方程式は $y = 2x^2 + 8x - 2$ または $y = 2x^2 - 4x - 2$ です。