与えられた3x3行列の行列式が0となるような、$x$の値を求め、その値を元の行列式に代入して、行列式の値が本当に0になることを確認します。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -1 & x-6 \\ -4 & x-3 & 2 \\ x-7 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式が0となるような、$x$の値を求め、その値を元の行列式に代入して、行列式の値が本当に0になることを確認します。行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & x-6 \\ -4 & x-3 & 2 \\ x-7 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & x-6 \\ -4 & x-3 & 2 \\ x-7 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} x-3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ x-7 & 1 \end{vmatrix} + (x-6)\begin{vmatrix} -4 & x-3 \\ x-7 & 1 \end{vmatrix}$

それぞれの2x2行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} x-3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (x-3)(1) - (2)(1) = x - 3 - 2 = x - 5$

$\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ x-7 & 1 \end{vmatrix} = (-4)(1) - (2)(x-7) = -4 - 2x + 14 = -2x + 10$

$\begin{vmatrix} -4 & x-3 \\ x-7 & 1 \end{vmatrix} = (-4)(1) - (x-3)(x-7) = -4 - (x^2 - 10x + 21) = -x^2 + 10x - 25$

これらの結果を元の式に代入します。

$2(x-5) + (-2x+10) + (x-6)(-x^2 + 10x - 25) = 0$

展開して整理します。

$2x - 10 - 2x + 10 + (x-6)(-x^2 + 10x - 25) = 0$

$(x-6)(-x^2 + 10x - 25) = 0$

$-x^3 + 10x^2 - 25x + 6x^2 - 60x + 150 = 0$

$-x^3 + 16x^2 - 85x + 150 = 0$

$x^3 - 16x^2 + 85x - 150 = 0$

この3次方程式を解きます。因数定理を用いて、$x=5$が解の一つであることがわかります。

$(x-5)(x^2 - 11x + 30) = 0$

さらに因数分解します。

$(x-5)(x-5)(x-6) = 0$

したがって、$x = 5$ または $x = 6$ となります。

次に、求めた $x$ の値を元の行列式に代入して、行列式の値が0になることを確認します。

$x = 5$ のとき：

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-2) - (-1)(-4+4) + (-1)(-4+4) = 0$

$x = 6$ のとき：

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -4 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3-2) - (-1)(-4+2) + 0(-4+ (-3)) = 2(1) + (-2) = 0$

3. 最終的な答え

$x = 5$ または $x = 6$