$\log_{\frac{1}{2}} 9$, $\log_{\frac{1}{4}} 3$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}} 9$, $\log_{\frac{1}{4}} 3$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの対数の値を計算し、比較します。

* $\log_{\frac{1}{2}} 9$

底を2に変換します。

$\log_{\frac{1}{2}} 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 9}{-1} = -\log_2 9$

$9 = 3^2$ なので、$-\log_2 9 = -\log_2 3^2 = -2\log_2 3$

$\log_2 3$ は1より大きいので、$-2\log_2 3$ は負の数です。

* $\log_{\frac{1}{4}} 3$

底を2に変換します。

$\log_{\frac{1}{4}} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 \frac{1}{4}} = \frac{\log_2 3}{-2} = -\frac{1}{2} \log_2 3$

これも負の数です。

* $\log_{\frac{1}{8}} 3$

底を2に変換します。

$\log_{\frac{1}{8}} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 \frac{1}{8}} = \frac{\log_2 3}{-3} = -\frac{1}{3} \log_2 3$

これも負の数です。

$\log_2 3$ は正の数なので、$-2\log_2 3$, $-\frac{1}{2} \log_2 3$, $-\frac{1}{3} \log_2 3$ の大小関係は、係数の絶対値の大小関係と逆になります。

すなわち、$2 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ なので、

$-2\log_2 3 < -\frac{1}{2} \log_2 3 < -\frac{1}{3} \log_2 3$ となります。

したがって、$\log_{\frac{1}{2}} 9 < \log_{\frac{1}{4}} 3 < \log_{\frac{1}{8}} 3$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{2}} 9$, $\log_{\frac{1}{4}} 3$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$