次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める問題です。 $ \begin{cases} 5x - 8 > 2x + 1 \\ x + 3 \ge 3x - a \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める問題です。

$$

\begin{cases}

5x - 8 > 2x + 1 \\

x + 3 \ge 3x - a

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式:

$5x - 8 > 2x + 1$

$3x > 9$

$x > 3$

2つ目の不等式:

$x + 3 \ge 3x - a$

$a + 3 \ge 2x$

$x \le \frac{a+3}{2}$

したがって、連立不等式は

$3 < x \le \frac{a+3}{2}$

となります。

この不等式を満たす整数 $x$ が4個であるためには、$x = 4, 5, 6, 7$ である必要があります。

したがって、$7 \le \frac{a+3}{2} < 8$ が成り立ちます。

$7 \le \frac{a+3}{2} < 8$

$14 \le a + 3 < 16$

$11 \le a < 13$

3. 最終的な答え

$11 \le a < 13$