$a$ を正の定数とするとき、2次関数 $y = -x^2 + 4x + 5$ （$-1 \leqq x \leqq a$）について、最大値とそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、2次関数 $y = -x^2 + 4x + 5$ （$-1 \leqq x \leqq a$）について、最大値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 5$

$y = -(x^2 - 4x) + 5$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = -(x - 2)^2 + 4 + 5$

$y = -(x - 2)^2 + 9$

この式から、この2次関数のグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 9)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-1 \leqq x \leqq a$ における最大値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x=2$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $a < 2$ のとき：

$x = -1$ で最大値をとります。

$x = -1$ のとき $y = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$

(ii) $a \geqq 2$ のとき：

$x = 2$ で最大値をとります。

$x = 2$ のとき $y = 9$

まとめると、

* $a < 2$ のとき、最大値は0 ($x = -1$のとき)

* $a \geqq 2$ のとき、最大値は9 ($x = 2$のとき)

3. 最終的な答え

* $a < 2$ のとき、最大値は $0$ ($x = -1$のとき)

* $a \geqq 2$ のとき、最大値は $9$ ($x = 2$のとき)