次の方程式を解きます。 (1) $\sqrt{x} = x - 2$ (2) $\sqrt{13 - x^2} = x - 1$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $\sqrt{x} = x - 2$

(2) $\sqrt{13 - x^2} = x - 1$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{x} = x - 2$

まず、両辺を2乗します。

$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1, 4$

$x=1$のとき、$\sqrt{1} = 1 - 2$ より $1 = -1$ となり不適。

$x=4$のとき、$\sqrt{4} = 4 - 2$ より $2 = 2$ となり適する。

(2) $\sqrt{13 - x^2} = x - 1$

まず、両辺を2乗します。

$(\sqrt{13 - x^2})^2 = (x - 1)^2$

$13 - x^2 = x^2 - 2x + 1$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

$x=3$のとき、$\sqrt{13 - 3^2} = 3 - 1$ より $\sqrt{4} = 2$ となり $2 = 2$ で適する。

$x=-2$のとき、$\sqrt{13 - (-2)^2} = -2 - 1$ より $\sqrt{9} = -3$ となり $3 = -3$ で不適。

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $x = 3$