次の2つの対数不等式を解きます。 (1) $2 \log_2(x-4) < \log_2 2x$ (2) $\log_{\frac{1}{10}}(7-x) \le 2 \log_{\frac{1}{10}}(x-1)$

1. 問題の内容

次の2つの対数不等式を解きます。

(1) $2 \log_2(x-4) < \log_2 2x$

(2) $\log_{\frac{1}{10}}(7-x) \le 2 \log_{\frac{1}{10}}(x-1)$

2. 解き方の手順

(1) $2 \log_2(x-4) < \log_2 2x$

まず、真数条件を確認します。

$x-4 > 0$ かつ $2x > 0$ より、$x > 4$ です。

次に、不等式を変形します。

$\log_2(x-4)^2 < \log_2 2x$

底が2で1より大きいので、真数の大小関係は不等号の向きを保ちます。

$(x-4)^2 < 2x$

$x^2 - 8x + 16 < 2x$

$x^2 - 10x + 16 < 0$

$(x-2)(x-8) < 0$

$2 < x < 8$

真数条件 $x > 4$ と合わせて、$4 < x < 8$

(2) $\log_{\frac{1}{10}}(7-x) \le 2 \log_{\frac{1}{10}}(x-1)$

まず、真数条件を確認します。

$7-x > 0$ かつ $x-1 > 0$ より、$1 < x < 7$ です。

次に、不等式を変形します。

$\log_{\frac{1}{10}}(7-x) \le \log_{\frac{1}{10}}(x-1)^2$

底が$\frac{1}{10}$で1より小さいので、真数の大小関係は不等号の向きが逆になります。

$7-x \ge (x-1)^2$

$7-x \ge x^2 - 2x + 1$

$0 \ge x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 6 \le 0$

$(x-3)(x+2) \le 0$

$-2 \le x \le 3$

真数条件 $1 < x < 7$ と合わせて、$1 < x \le 3$

3. 最終的な答え

(1) $4 < x < 8$

(2) $1 < x \le 3$