$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解します。

1. 問題の内容

$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 4$ を因数分解します。

$x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2$

これは差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使って因数分解できます。

$x^4 - 4 = (x^2 + 2)(x^2 - 2)$

- 有理数の範囲での因数分解:

$(x^2 - 2)$ は $\sqrt{2}$ を含むので、有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。従って、$x^4 - 4 = (x^2 + 2)(x^2 - 2)$ が有理数の範囲での因数分解です。

- 実数の範囲での因数分解:

$(x^2 - 2)$ は $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ と因数分解できます。$(x^2 + 2)$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、$x^4 - 4 = (x^2 + 2)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ が実数の範囲での因数分解です。

- 複素数の範囲での因数分解:

$(x^2 + 2)$ は $x^2 = -2$ より、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$ を解に持ちます。

したがって、$x^2 + 2 = (x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ と因数分解できます。

まとめると、$x^4 - 4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ が複素数の範囲での因数分解です。

3. 最終的な答え

- 有理数: $(x^2 + 2)(x^2 - 2)$

- 実数: $(x^2 + 2)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

- 複素数: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$