与えられた3次式 $4x^3 - 8x^2 + x + 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $4x^3 - 8x^2 + x + 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、与えられた多項式の根を探す。つまり、$4x^3 - 8x^2 + x + 3 = 0$ を満たす $x$ の値を見つける。

$x = -1/2$ を代入してみる。

$4(-\frac{1}{2})^3 - 8(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 3 = 4(-\frac{1}{8}) - 8(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2} - 2 - \frac{1}{2} + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$

よって、$x = -\frac{1}{2}$ は根である。したがって、$2x + 1$ は因数である。

次に、多項式を $2x+1$ で割る。

$4x^3 - 8x^2 + x + 3 = (2x + 1)(ax^2 + bx + c)$ となる $a, b, c$ を求める。

筆算または組み立て除法を行う。

$4x^3 - 8x^2 + x + 3$ を $2x + 1$ で割ると、商は $2x^2 - 5x + 3$ となる。

つまり、

$4x^3 - 8x^2 + x + 3 = (2x + 1)(2x^2 - 5x + 3)$

さらに、$2x^2 - 5x + 3$ を因数分解する。

$2x^2 - 5x + 3 = (2x - 3)(x - 1)$

したがって、

$4x^3 - 8x^2 + x + 3 = (2x + 1)(2x - 3)(x - 1)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(2x-3)(2x+1)$