与えられた3次式 $x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を利用して、与えられた式が $(x-a)$ を因数に持つような $a$ を探します。

$x$ に適当な値を代入して、式が 0 になるかどうかを試します。

例えば、 $x=1$ を代入すると $1 + 4 - 11 - 30 = -36 \neq 0$ なので、$x-1$ は因数ではありません。

$x=-1$ を代入すると $-1 + 4 + 11 - 30 = -16 \neq 0$ なので、$x+1$ は因数ではありません。

$x=2$ を代入すると $8 + 16 - 22 - 30 = -28 \neq 0$ なので、$x-2$ は因数ではありません。

$x=-2$ を代入すると $-8 + 16 + 22 - 30 = 0$ となるので、$x+2$ は因数となります。

したがって、$x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ は $(x+2)$ を因数に持ちます。

次に、割り算を実行して、もう一つの因数を見つけます。

$x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ を $(x+2)$ で割ると、

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +2x & -15 \\

\cline{2-5}

x+2 & x^3 & +4x^2 & -11x & -30 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +2x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 2x^2 & -11x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 2x^2 & +4x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -15x & -30 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -15x & -30 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

よって、$x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x+2)(x^2 + 2x - 15)$ となります。

さらに、$x^2 + 2x - 15$ を因数分解します。

$x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)$

したがって、$x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x+2)(x+5)(x-3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+5)(x-3)$