不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta < -1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta < -1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ となります。これを元の不等式に代入すると、

$$2(1-\cos^2\theta) + 5\cos\theta < -1$$

$$2 - 2\cos^2\theta + 5\cos\theta < -1$$

$$0 < 2\cos^2\theta - 5\cos\theta - 3$$

ここで、$x = \cos\theta$ とおくと、

$$2x^2 - 5x - 3 > 0$$

この二次不等式を解きます。まず、$2x^2 - 5x - 3 = 0$ の解を求めます。因数分解すると、

$$(2x+1)(x-3) = 0$$

よって、$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 3$ となります。

$2x^2 - 5x - 3 > 0$ より、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 3$ となります。

ここで、$x = \cos\theta$ に戻すと、

$$\cos\theta < -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad \cos\theta > 3$$

$\cos\theta$ の範囲は $-1 \le \cos\theta \le 1$ であるため、$\cos\theta > 3$ はありえません。よって、$\cos\theta < -\frac{1}{2}$ を満たす$\theta$の範囲を求めます。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となる$\theta$は$\frac{2}{3}\pi$と$\frac{4}{3}\pi$です。$\cos\theta < -\frac{1}{2}$ となる$\theta$の範囲は、$\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$