$x^4 - 9$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^4 - 9$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 9$ を因数分解します。

$x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)$

有理数の範囲では、$x^2-3$も$x^2+3$もこれ以上因数分解できません。したがって、

$x^4 - 9 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)$

次に、実数の範囲で考えます。

$x^2 - 3 = 0$ を解くと $x = \pm\sqrt{3}$ となります。

したがって、$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できます。

また、$x^2 + 3 = 0$ を解くと $x = \pm\sqrt{-3} = \pm i\sqrt{3}$ となり、これは実数解ではないため、$x^2+3$は実数の範囲では因数分解できません。

したがって、

$x^4 - 9 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 3)$

最後に、複素数の範囲で考えます。

$x^2 + 3 = 0$ を解くと $x = \pm i\sqrt{3}$ となります。

したがって、$x^2 + 3 = (x - i\sqrt{3})(x + i\sqrt{3})$ と因数分解できます。

したがって、

$x^4 - 9 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - i\sqrt{3})(x + i\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

有理数： $(x^2 - 3)(x^2 + 3)$

実数： $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 3)$

複素数： $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - i\sqrt{3})(x + i\sqrt{3})$