与えられた分数式の和を計算し、簡約化します。 $ \frac{a}{x(a-x)} + \frac{x}{a(x-a)} $

## 問題３

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算し、簡約化します。

$\frac{a}{x(a-x)} + \frac{x}{a(x-a)}$

2. 解き方の手順

まず、分母を共通化するために、2番目の分数の分母の符号を反転させます。$x-a = -(a-x)$ であるから、以下のようになります。

$\frac{a}{x(a-x)} + \frac{x}{a(x-a)} = \frac{a}{x(a-x)} - \frac{x}{a(a-x)}$

次に、共通分母を $ax(a-x)$ とします。各分数を共通分母で表すと、以下のようになります。

$\frac{a}{x(a-x)} - \frac{x}{a(a-x)} = \frac{a \cdot a}{a \cdot x(a-x)} - \frac{x \cdot x}{x \cdot a(a-x)}$

$= \frac{a^2}{ax(a-x)} - \frac{x^2}{ax(a-x)}$

共通分母を持つ2つの分数の差を計算します。

$\frac{a^2}{ax(a-x)} - \frac{x^2}{ax(a-x)} = \frac{a^2 - x^2}{ax(a-x)}$

分子を因数分解します。$a^2 - x^2 = (a-x)(a+x)$

$\frac{(a-x)(a+x)}{ax(a-x)}$

$(a-x)$ を分子と分母からキャンセルします。

$\frac{(a-x)(a+x)}{ax(a-x)} = \frac{a+x}{ax}$

3. 最終的な答え

$\frac{a+x}{ax}$

## 問題4

1. 問題の内容

与えられた分数式の差を計算し、簡約化します。

$\frac{x}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} - \frac{8}{4-x^2}$

2. 解き方の手順

まず、$4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$ であることに注意します。

したがって、$\frac{8}{4-x^2} = -\frac{8}{(x-2)(x+2)}$ となります。

与式は以下のように書き換えられます。

$\frac{x}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} + \frac{8}{(x-2)(x+2)}$

共通分母を $(x-2)(x+2)$ とします。各分数を共通分母で表すと、以下のようになります。

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{8}{(x-2)(x+2)}$

$= \frac{x(x+2) - (x-2)^2 + 8}{(x-2)(x+2)}$

分子を展開します。

$= \frac{x^2 + 2x - (x^2 - 4x + 4) + 8}{(x-2)(x+2)}$

$= \frac{x^2 + 2x - x^2 + 4x - 4 + 8}{(x-2)(x+2)}$

$= \frac{6x + 4}{(x-2)(x+2)}$

$= \frac{2(3x + 2)}{(x-2)(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(3x + 2)}{(x-2)(x+2)}$