与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解き、その解をカンマ区切りで記述します。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解き、その解をカンマ区切りで記述します。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ です。

まず、整数解を探すために、定数項の約数（-2の約数）を試します。

$x = 1$ を代入すると、$1 + 2 - 4 - 7 - 2 = -10 \neq 0$ となり、$x=1$ は解ではありません。

$x = -1$ を代入すると、$1 - 2 - 4 + 7 - 2 = 0$ となり、$x=-1$ は解です。

したがって、$x+1$ は与えられた多項式の因数です。

多項式を $x+1$ で割ります。

\begin{array}{c|ccccc}

& 1 & 2 & -4 & -7 & -2 \\

-1 & & -1 & -1 & 5 & 2 \\

\hline

& 1 & 1 & -5 & -2 & 0 \\

\end{array}

よって、 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x+1)(x^3 + x^2 - 5x - 2)$ となります。

次に、$x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$ を解きます。

$x = -2$ を代入すると、$-8 + 4 + 10 - 2 = 4 \neq 0$ となり、$x=-2$ は解ではありません。

$x = 2$ を代入すると、$8 + 4 - 10 - 2 = 0$ となり、$x=2$ は解です。

したがって、$x-2$ は $x^3 + x^2 - 5x - 2$ の因数です。

\begin{array}{c|cccc}

& 1 & 1 & -5 & -2 \\

2 & & 2 & 6 & 2 \\

\hline

& 1 & 3 & 1 & 0 \\

\end{array}

よって、$x^3 + x^2 - 5x - 2 = (x-2)(x^2 + 3x + 1)$ となります。

したがって、$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x+1)(x-2)(x^2 + 3x + 1) = 0$ となります。

最後に、$x^2 + 3x + 1 = 0$ を解きます。

解の公式より、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = -1, 2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

-1, 2, (-3+√5)/2, (-3-√5)/2