多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが2, $x-3$ で割ると余りが1である。このとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが2, $x-3$ で割ると余りが1である。このとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおく。このとき、$P(x)$ はある多項式 $Q(x)$ を用いて以下のように表せる。

$P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax + b$

問題文より、$P(2) = 2$ および $P(3) = 1$ が成り立つ。

$P(2)$ を上記の式に代入すると、

$P(2) = (2-2)(2-3)Q(2) + 2a + b = 2a + b$

よって、

$2a + b = 2$ (1)

$P(3)$ を上記の式に代入すると、

$P(3) = (3-2)(3-3)Q(3) + 3a + b = 3a + b$

よって、

$3a + b = 1$ (2)

(2) - (1) より、

$3a + b - (2a + b) = 1 - 2$

$a = -1$

$a = -1$ を (1) に代入すると、

$2(-1) + b = 2$

$-2 + b = 2$

$b = 4$

したがって、求める余りは $-x + 4$ である。

3. 最終的な答え

$-x+4$