1から15までの番号が書かれた15枚のカードから、同時に2枚を取り出すとき、取り出した2枚のカードの数字がともに素数であるか、またはともに4の倍数である確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から15までの番号が書かれた15枚のカードから、同時に2枚を取り出すとき、取り出した2枚のカードの数字がともに素数であるか、またはともに4の倍数である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1から15までの数字の中に素数がいくつあるか、4の倍数がいくつあるかを数えます。

素数は2, 3, 5, 7, 11, 13の6個です。

4の倍数は4, 8, 12の3個です。

次に、2枚のカードがともに素数である確率を計算します。

15枚のカードから2枚を取り出す組み合わせの総数は $\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$通りです。

6個の素数の中から2枚を取り出す組み合わせの数は $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

したがって、2枚のカードがともに素数である確率は $\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$です。

次に、2枚のカードがともに4の倍数である確率を計算します。

3個の4の倍数の中から2枚を取り出す組み合わせの数は $\binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通りです。

したがって、2枚のカードがともに4の倍数である確率は $\frac{3}{105} = \frac{1}{35}$です。

最後に、2枚のカードがともに素数であるか、またはともに4の倍数である確率を求めます。

これは、2枚のカードがともに素数である確率と、2枚のカードがともに4の倍数である確率を足し合わせることで求められます。

$\frac{1}{7} + \frac{1}{35} = \frac{5}{35} + \frac{1}{35} = \frac{6}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{35}$