袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2個の玉を取り出す全ての場合の数を計算します。これは8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_8C_2$で計算できます。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

次に、2個とも赤玉である場合の数を計算します。これは5個の赤玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_5C_2$で計算できます。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、2個とも白玉である場合の数を計算します。これは3個の白玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_3C_2$で計算できます。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

取り出した玉の色が同じであるのは、2個とも赤玉か、2個とも白玉のどちらかの場合なので、これらの場合の数を足し合わせます。

$10 + 3 = 13$

求める確率は、取り出した玉の色が同じである場合の数を、全ての場合の数で割ることで得られます。

$P(\text{同じ色}) = \frac{\text{同じ色の組み合わせ}}{\text{全ての組み合わせ}} = \frac{13}{28}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{28}$