$n$を2以上の整数とする。1つのサイコロを繰り返し投げて、同じ目が2回続けて出るか、または$n$回投げたら終了するものとする。 (1) $n=5$のとき、サイコロを投げる回数が4回となる確率を求めよ。 (2) $n=5$のとき、サイコロを投げる回数が5回となる確率を求めよ。 (3) サイコロを投げる回数が$k$回 ($k=2,3,...,n$) となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

$n$を2以上の整数とする。1つのサイコロを繰り返し投げて、同じ目が2回続けて出るか、または$n$回投げたら終了するものとする。

(1) $n=5$のとき、サイコロを投げる回数が4回となる確率を求めよ。

(2) $n=5$のとき、サイコロを投げる回数が5回となる確率を求めよ。

(3) サイコロを投げる回数が$k$回 ($k=2,3,...,n$) となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

4回で終了するのは、4回目に初めて同じ目が2回連続で出る場合である。

1回目、2回目、3回目は同じ目が連続して出ない。

4回目に同じ目が出るので、3回目と4回目は同じ目である。

1回目の出方は6通り。

2回目は1回目と異なるので5通り。

3回目は2回目と異なるので5通り。

4回目は3回目と同じなので1通り。

従って、4回で終了する確率は

$\frac{6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1}{6^4} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

(2)

5回で終了するのは、以下のいずれかの場合である。

(i) 5回目に初めて同じ目が2回連続で出る。

(ii) 5回投げても同じ目が2回連続で出ない。

(i) 5回目に初めて同じ目が2回連続で出る場合

1回目から4回目までは同じ目が連続して出ない。

5回目に同じ目が出るので、4回目と5回目は同じ目である。

1回目の出方は6通り。

2回目は1回目と異なるので5通り。

3回目は2回目と異なるので5通り。

4回目は3回目と異なるので5通り。

5回目は4回目と同じなので1通り。

従って、この場合の確率は

$\frac{6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 1}{6^5} = \frac{750}{7776}$

(ii) 5回投げても同じ目が2回連続で出ない場合

1回目から5回目まで、同じ目が2回連続で出ない。

1回目の出方は6通り。

2回目は1回目と異なるので5通り。

3回目は2回目と異なるので5通り。

4回目は3回目と異なるので5通り。

5回目は4回目と異なるので5通り。

従って、この場合の確率は

$\frac{6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{6^5} = \frac{1875}{7776}$

しかし、5回で終了するのは、5回目に初めて同じ目が2回連続で出るか、または5回投げても同じ目が2回連続で出ない場合である。

したがって、

5回で終了する確率は

$\frac{750}{7776} + \frac{1875}{7776} = \frac{2625}{7776} = \frac{875}{2592}$

(3)

$k$回目に終了する確率は、

(i) $k$回目に初めて同じ目が2回連続で出るか、または

(ii) $k=n$のとき、$n$回投げても同じ目が2回連続で出ない場合である。

(i) $k$回目に初めて同じ目が2回連続で出る場合

1回目から$k-1$回目までは同じ目が連続して出ない。

$k$回目に同じ目が出るので、$k-1$回目と$k$回目は同じ目である。

1回目の出方は6通り。

2回目から$k-1$回目までは、それぞれ1つ前の目と異なるので5通り。

$k$回目は$k-1$回目と同じなので1通り。

従って、この場合の確率は

$\frac{6 \cdot 5^{k-2} \cdot 1}{6^k} = \frac{5^{k-2}}{6^{k-1}}$

(ii) $k=n$のとき、$n$回投げても同じ目が2回連続で出ない場合

1回目から$n$回目まで、同じ目が2回連続して出ない。

1回目の出方は6通り。

2回目から$n$回目までは、それぞれ1つ前の目と異なるので5通り。

従って、この場合の確率は

$\frac{6 \cdot 5^{n-1}}{6^n} = \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}}$

$2 \le k < n$のとき、$k$回で終了する確率は $\frac{5^{k-2}}{6^{k-1}}$.

$k=n$のとき、$n$回で終了する確率は $\frac{5^{n-2}}{6^{n-1}} + \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} = \frac{5^{n-2} + 5^{n-1} \cdot 6}{6^{n-1}} = \frac{5^{n-2} (1+5)}{6^{n-1}} = \frac{6 \cdot 5^{n-2}}{6^{n-1}} = \frac{5^{n-2}}{6^{n-2}}$

しかし、$k = n$のとき、$n$回目に初めて同じ目が2回連続で出る確率は$\frac{5^{n-2}}{6^{n-1}}$.

$k=n$のとき、$n$回投げても同じ目が2回連続で出ない確率は $\frac{5^{n-1}}{6^{n-1}}$.

$k=n$のとき、$n$回で終了する確率は

$\frac{5^{n-1}}{6^{n-1}}$.

$2 \le k < n$のとき、求める確率は$\frac{5^{k-2}}{6^{k-1}}$

$k=n$のとき、求める確率は $\frac{5^{n-2}}{6^{n-1}} + \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} - \frac{5^{n-2}}{6^{n-1}}$.

したがって$\frac{5^{n-1}}{6^{n-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{216}$

(2) $\frac{125}{2592}$

(3)

$2 \le k < n$ のとき、$\frac{5^{k-2}}{6^{k-1}}$

$k = n$ のとき、$\frac{5^{n-1}}{6^{n-1}}$