問題12：子ども6人、大人5人の中から5人を選ぶときの選び方の総数を求めます。 (1) 特定の2人AとBが選ばれる場合の数 (2) 大人が少なくとも1人含まれる場合の数 問題13：8人を2つの組A, Bに分ける場合の数を求めます。ただし、1つの組には少なくとも1人は入るものとします。

1. 問題の内容

問題12：子ども6人、大人5人の中から5人を選ぶときの選び方の総数を求めます。

(1) 特定の2人AとBが選ばれる場合の数

(2) 大人が少なくとも1人含まれる場合の数

問題13：8人を2つの組A, Bに分ける場合の数を求めます。ただし、1つの組には少なくとも1人は入るものとします。

2. 解き方の手順

問題12

(1) 特定の2人A,Bが選ばれる場合：

A,Bの2人は既に選ばれているので、残りの3人を、残りの(6+5-2)=9人から選ぶことになります。

したがって、場合の数は ${}_9C_3$ です。

${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(2) 大人が少なくとも1人含まれる場合：

まず、5人を選ぶ全ての選び方は、 ${}_{11}C_5$ です。

${}_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

大人を1人も含まない選び方（全員子ども）は、 ${}_6C_5$ です。

${}_6C_5 = \frac{6!}{5!1!} = 6$

したがって、大人が少なくとも1人含まれる選び方は、 ${}_{11}C_5 - {}_6C_5 = 462 - 6 = 456$

問題13

8人を2つの組A, Bに分けることを考えます。ただし、各組には少なくとも1人が入るものとします。

各人について、組Aか組Bのどちらかに入れるかを選ぶので、 $2^8$ 通りの分け方があります。

ただし、全員が組Aに入る場合と全員が組Bに入る場合は、条件を満たさないので、これらを除く必要があります。

よって、分け方は $2^8 - 2$ 通りです。

ただし、AとBの区別はないので、2で割る必要があります。

したがって、分け方は $\frac{2^8 - 2}{2} = \frac{256 - 2}{2} = \frac{254}{2} = 127$ 通りです。

3. 最終的な答え

問題12

(1) 84通り

(2) 456通り

問題13

127通り