確率変数 $X$ が与えられた二項分布に従うとき、$X$ の期待値、分散、および標準偏差を求める問題です。具体的には、以下の３つの二項分布について求めます。 (1) $B(8, \frac{1}{2})$ (2) $B(5, \frac{1}{4})$ (3) $B(12, \frac{2}{3})$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が与えられた二項分布に従うとき、$X$ の期待値、分散、および標準偏差を求める問題です。具体的には、以下の３つの二項分布について求めます。

(1) $B(8, \frac{1}{2})$

(2) $B(5, \frac{1}{4})$

(3) $B(12, \frac{2}{3})$

2. 解き方の手順

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ について、期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ はそれぞれ次の式で計算できます。

* 期待値: $E(X) = np$

* 分散: $V(X) = np(1-p)$

* 標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

これらの公式を用いて、それぞれの二項分布に対する期待値、分散、標準偏差を計算します。

(1) $B(8, \frac{1}{2})$ の場合:

* $n = 8$, $p = \frac{1}{2}$

* 期待値: $E(X) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$

* 分散: $V(X) = 8 \times \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = 8 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2$

* 標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{2}$

(2) $B(5, \frac{1}{4})$ の場合:

* $n = 5$, $p = \frac{1}{4}$

* 期待値: $E(X) = 5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

* 分散: $V(X) = 5 \times \frac{1}{4} \times (1 - \frac{1}{4}) = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{16} = 0.9375$

* 標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) $B(12, \frac{2}{3})$ の場合:

* $n = 12$, $p = \frac{2}{3}$

* 期待値: $E(X) = 12 \times \frac{2}{3} = 8$

* 分散: $V(X) = 12 \times \frac{2}{3} \times (1 - \frac{2}{3}) = 12 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

* 標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $B(8, \frac{1}{2})$:

* 期待値: $4$

* 分散: $2$

* 標準偏差: $\sqrt{2}$

(2) $B(5, \frac{1}{4})$:

* 期待値: $\frac{5}{4} = 1.25$

* 分散: $\frac{15}{16} = 0.9375$

* 標準偏差: $\frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) $B(12, \frac{2}{3})$:

* 期待値: $8$

* 分散: $\frac{8}{3}$

* 標準偏差: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$