大人8人と子供4人の中から5人を選ぶ場合の数を、以下の条件で求めます。 (1) すべての選び方 (2) 大人3人と子供2人を選ぶ (3) 子供が少なくとも1人含まれるように選ぶ (4) 特定の2人A, Bがともに選ばれる (5) Aは選ばれるが、Bは選ばれない

1. 問題の内容

大人8人と子供4人の中から5人を選ぶ場合の数を、以下の条件で求めます。

(1) すべての選び方

(2) 大人3人と子供2人を選ぶ

(3) 子供が少なくとも1人含まれるように選ぶ

(4) 特定の2人A, Bがともに選ばれる

(5) Aは選ばれるが、Bは選ばれない

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

大人8人と子供4人、合計12人の中から5人を選ぶ組み合わせを求めます。これは組み合わせの公式 $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算します。

$\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

(2) 大人3人と子供2人を選ぶ

大人8人から3人を選ぶ組み合わせと、子供4人から2人を選ぶ組み合わせをそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

大人の選び方：$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

子供の選び方：$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、選び方は $56 \times 6 = 336$ 通り

(3) 子供が少なくとも1人含まれるように選ぶ

すべての選び方から、子供が一人も含まれない選び方（大人だけを選ぶ選び方）を引きます。

大人のみを選ぶ選び方：$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

よって、選び方は $792 - 56 = 736$ 通り

(4) 特定の2人A, Bがともに選ばれる

A, Bはすでに選ばれているので、残りの3人を選ぶ必要があります。残りのメンバーは12 - 2 = 10人の中から選びます。

$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

(5) Aは選ばれるが、Bは選ばれない

Aは選ばれているので、残りの4人を選ぶ必要があります。Bは選ばれないので、残りのメンバーは12 - 2 = 10人の中から選びます。

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

3. 最終的な答え

(1) 792通り

(2) 336通り

(3) 736通り

(4) 120通り

(5) 210通り