1個のサイコロを6回投げて、5以上の目が出る回数をXとする。 Xがどのような二項分布に従うかを求め、以下の確率を計算する。 (1) $P(X=4)$ (2) $P(X \leq 2)$ (3) $P(X \geq 3)$

1. 問題の内容

1個のサイコロを6回投げて、5以上の目が出る回数をXとする。

Xがどのような二項分布に従うかを求め、以下の確率を計算する。

(1) $P(X=4)$

(2) $P(X \leq 2)$

(3) $P(X \geq 3)$

2. 解き方の手順

まず、Xが従う二項分布を特定する。

サイコロを1回投げたときに5以上の目（5または6）が出る確率は $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

サイコロを6回投げるので、試行回数は $n=6$である。

したがって、Xは二項分布 $B(6, \frac{1}{3})$ に従う。

二項分布の確率質量関数は以下のように定義される。

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$は二項係数である。

(1) $P(X=4)$を計算する。

$P(X=4) = {}_6 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^2 = \frac{6!}{4!2!} (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^2 = 15 \times \frac{1}{81} \times \frac{4}{9} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(2) $P(X \leq 2)$を計算する。

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$P(X=0) = {}_6 C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^6 = 1 \times 1 \times \frac{64}{729} = \frac{64}{729}$

$P(X=1) = {}_6 C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^5 = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{32}{243} = 6 \times \frac{32}{729} = \frac{192}{729}$

$P(X=2) = {}_6 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^4 = \frac{6 \times 5}{2} \times \frac{1}{9} \times \frac{16}{81} = 15 \times \frac{16}{729} = \frac{240}{729}$

$P(X \leq 2) = \frac{64}{729} + \frac{192}{729} + \frac{240}{729} = \frac{496}{729}$

(3) $P(X \geq 3)$を計算する。

$P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \frac{496}{729} = \frac{729 - 496}{729} = \frac{233}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $P(X=4) = \frac{20}{243}$

(2) $P(X \leq 2) = \frac{496}{729}$

(3) $P(X \geq 3) = \frac{233}{729}$