美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は何通りか。 (2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は何通りか。

(2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

美術部の3人で3人のグループを作るので、これは1通り。

残りの6人から2人を選ぶので、組み合わせの公式を使う。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2)

まず、9人を2人、3人、4人のグループに分ける総数を求める。

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$

次に、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る分け方を考える。

まず、美術部員3人をそれぞれ2人、3人、4人のグループに割り振る。これは $3! = 6$ 通り。

残りの6人は、書道部3人と合唱部3人。

2人のグループには美術部員以外の1人が必要。これは6人から1人を選ぶので6通り。

3人のグループには美術部員以外の2人が必要。残りの5人から2人を選ぶので $_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

4人のグループには美術部員以外の3人が必要。残りの3人から3人を選ぶので $_3C_3 = 1$ 通り。

よって、6人の中から、2人のグループに1人、3人のグループに2人、4人のグループに3人を選ぶ方法は、

$\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} = 60$ 通り。

よって、合計で $6 \times 60 = 360$ 通り。

(3)

2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

2人のグループが美術部のみの場合：ありえない（美術部はすでに全員使われているか、別のグループに入っている）

2人のグループが書道部のみの場合：書道部から2人を選ぶ $_3C_2 = 3$ 通り。残りの7人を3人、4人のグループに分ける $\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35$ 通り。よって $3 \times 35 = 105$ 通り。

2人のグループが合唱部のみの場合：合唱部から2人を選ぶ $_3C_2 = 3$ 通り。残りの7人を3人、4人のグループに分ける $\frac{7!}{3!4!} = 35$ 通り。よって $3 \times 35 = 105$ 通り。

合計 $105 + 105 = 210$ 通り。

次に、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合を考える。

これは難しいので省略。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 全部の分け方：1260通り。各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方：360通り。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方：210通り。どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方：計算省略