与えられた複素数の分数 $\frac{1 + j\sqrt{3}}{\sqrt{3} + j}$ を計算せよ。ここで、$j$ は虚数単位を表す。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数 $\frac{1 + j\sqrt{3}}{\sqrt{3} + j}$ を計算せよ。ここで、$j$ は虚数単位を表す。

2. 解き方の手順

分母の共役複素数を分子と分母に掛ける。分母の共役複素数は $\sqrt{3} - j$ である。

$\frac{1 + j\sqrt{3}}{\sqrt{3} + j} = \frac{(1 + j\sqrt{3})(\sqrt{3} - j)}{(\sqrt{3} + j)(\sqrt{3} - j)}$

分子を計算する:

$(1 + j\sqrt{3})(\sqrt{3} - j) = \sqrt{3} - j + j(\sqrt{3})^2 - j^2\sqrt{3} = \sqrt{3} - j + 3j + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 2j$

分母を計算する:

$(\sqrt{3} + j)(\sqrt{3} - j) = (\sqrt{3})^2 - j^2 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$

したがって、

$\frac{1 + j\sqrt{3}}{\sqrt{3} + j} = \frac{2\sqrt{3} + 2j}{4} = \frac{2(\sqrt{3} + j)}{4} = \frac{\sqrt{3} + j}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3} + j}{2}$