$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ が $-1 + \sqrt{3}i$ を解にもつとき、残りの解と $a, b$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ が $-1 + \sqrt{3}i$ を解にもつとき、残りの解と $a, b$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

* **ア:** 実数係数の多項式方程式が複素数解 $\alpha$ を持つとき、その共役複素数 $\bar{\alpha}$ も解に持つ。よって、$\alpha = -1 + \sqrt{3}i$ が解ならば、$\bar{\alpha} = -1 - \sqrt{3}i$ も解である。

* **イ, ウ:** $\alpha$ と $\bar{\alpha}$ を解とする2次式 $g(x)$ は $g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha})$ で与えられる。

$g(x) = (x - (-1 + \sqrt{3}i))(x - (-1 - \sqrt{3}i)) = (x + 1 - \sqrt{3}i)(x + 1 + \sqrt{3}i) = (x + 1)^2 - (\sqrt{3}i)^2 = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$

したがって、$g(x) = x^2 - (-2)x + 4$

* **エ, オ, カ:** $x^3 + ax^2 + bx + 12$ を $g(x) = x^2 + 2x + 4$ で割ると、商と余りが求まる。

割り算を実行すると、

$x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x^2 + 2x + 4)(x + (a-2)) + (b - 2a - (-4)*1 +4)*x+ (12 - 4(a-2))$

$x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x^2 + 2x + 4)(x + (a-2)) + (b-2a)*x +20-4a$

* **キ, ク:** $x^3 + ax^2 + bx + 12$ は $g(x)$ で割り切れるので、余りは0。

$b - 2a = 0$ かつ $20 - 4a = 0$

$a = 5$, $b = 2a = 10$

* **ケ:** $x^3 + 5x^2 + 10x + 12 = 0$ の解は $x = -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$ と、 $(x^2 + 2x + 4)(x+3) = x^3 + 5x^2 + 10x + 12$ より $x = -3$

3. 最終的な答え

* ア: $-1-\sqrt{3}i$

* イ: $-2$

* ウ: $4$

* エ: $a-2$

* オ: $b-2a$

* カ: $20-4a$

* キ: $5$

* ク: $10$

* ケ: $-3$