与えられた二次関数 $y=(x-1)^2-3$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。問題は2つあり、それぞれ定義域が異なっている。 (1) $-2 \leq x \leq 3$ (2) $2 \leq x \leq 4$

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y=(x-1)^2-3$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。問題は2つあり、それぞれ定義域が異なっている。

(1) $-2 \leq x \leq 3$

(2) $2 \leq x \leq 4$

2. 解き方の手順

二次関数 $y=(x-1)^2-3$ は、頂点が $(1, -3)$ の下に凸な放物線である。定義域における最大値と最小値を求めるには、頂点の $x$ 座標が定義域に含まれるかどうか、また定義域の端点の $y$ 座標を調べる必要がある。

(1) 定義域 $-2 \leq x \leq 3$ の場合

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれている。

$x=1$ のとき、$y=(1-1)^2-3 = -3$ （最小値候補）

定義域の端点 $x=-2$ のとき、$y=(-2-1)^2-3 = 9-3 = 6$

定義域の端点 $x=3$ のとき、$y=(3-1)^2-3 = 4-3 = 1$

よって、定義域 $-2 \leq x \leq 3$ における最小値は $x=1$ のとき $y=-3$、最大値は $x=-2$ のとき $y=6$。

(2) 定義域 $2 \leq x \leq 4$ の場合

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれていない。

定義域の端点 $x=2$ のとき、$y=(2-1)^2-3 = 1-3 = -2$ （最小値候補）

定義域の端点 $x=4$ のとき、$y=(4-1)^2-3 = 9-3 = 6$ （最大値候補）

よって、定義域 $2 \leq x \leq 4$ における最小値は $x=2$ のとき $y=-2$、最大値は $x=4$ のとき $y=6$。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $x = -2$ のとき $y = 6$

最小値: $x = 1$ のとき $y = -3$

(2)

最大値: $x = 4$ のとき $y = 6$

最小値: $x = 2$ のとき $y = -2$