$\cos 2\theta + \sin \theta > 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos 2\theta + \sin \theta > 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ の式で表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

したがって、与えられた不等式は次のようになります。

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta > 0$

両辺に -1 を掛けて符号を反転させます。

$2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 < 0$

$x = \sin \theta$ とおくと、不等式は次のようになります。

$2x^2 - x - 1 < 0$

この二次不等式を解きます。まず、$2x^2 - x - 1 = 0$ の解を求めます。

$(2x + 1)(x - 1) = 0$

よって、$x = 1, -\frac{1}{2}$ です。

したがって、$2x^2 - x - 1 < 0$ の解は $-\frac{1}{2} < x < 1$ です。

$x = \sin \theta$ を代入すると、$-\frac{1}{2} < \sin \theta < 1$ となります。

$-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}$ かつ $\theta \ne \frac{\pi}{2}$ となります。

一般解を求めると、

$2n\pi - \frac{\pi}{6} < \theta < 2n\pi + \frac{7\pi}{6}$ かつ $\theta \ne 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ となります（$n$は整数）。

3. 最終的な答え

$2n\pi - \frac{\pi}{6} < \theta < 2n\pi + \frac{7\pi}{6}$, $\theta \ne 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ ($n$は整数)