$\lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{3})^{\frac{1}{x}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{3})^{\frac{1}{x}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{x}{3}$ と置換します。このとき、$x = 3t$ であり、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となります。

与えられた極限の式は、

$\lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{3})^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{3t}} = \lim_{t \to 0} [(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^{\frac{1}{3}}$

となります。ここで、$\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$ であるという公式を使います。したがって、

$\lim_{t \to 0} [(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{e}$

となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{e}$