数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。ただし、$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ であり、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{3}$、$b_1 = 1$ が与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。ただし、$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ であり、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{3}$、$b_1 = 1$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$b_n$ の一般項を求めます。

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{3}$ は、数列 $\{b_n\}$ が初項 $b_1=1$、公差 $\frac{1}{3}$ の等差数列であることを示しています。

したがって、$b_n$ の一般項は、

$b_n = b_1 + (n-1) \times \frac{1}{3} = 1 + \frac{n-1}{3} = \frac{n+2}{3}$

次に、$a_n$ を $b_n$ を使って表します。$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ より、

$a_n - 2 = \frac{1}{b_n}$

$a_n = \frac{1}{b_n} + 2$

$b_n = \frac{n+2}{3}$ を代入して、

$a_n = \frac{3}{n+2} + 2 = \frac{3 + 2(n+2)}{n+2} = \frac{3 + 2n + 4}{n+2} = \frac{2n+7}{n+2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n+7}{n+2}$