不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左辺を平方完成します。

$a$ について平方完成すると、$a^2 - a = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$b$ について平方完成すると、$b^2 - b = (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

これらを元の不等式に代入すると、

$(a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \geq 0$

$(a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq 0$

$(a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 \geq 0$

$(a - \frac{1}{2})^2$ と $(b - \frac{1}{2})^2$ は実数の二乗なので、常に0以上です。したがって、$(a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a - \frac{1}{2})^2 = 0$ かつ $(b - \frac{1}{2})^2 = 0$ のときです。

つまり、$a - \frac{1}{2} = 0$ かつ $b - \frac{1}{2} = 0$ のとき。

したがって、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{1}{2}$ のときに等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{1}{2}$ のとき。