$x$ の3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - b = 0$ が $1-3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解 $x$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax - b = 0$ が $1-3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解 $x$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

複素数 $1 - 3i$ が解であることから、共役複素数 $1 + 3i$ も解である。

なぜなら、係数が全て実数である3次方程式だから。

$x^3 - 3x^2 + ax - b = 0$ の3つの解を $1-3i, 1+3i, \alpha$ とする。

解と係数の関係より、

3つの解の和は $3$ であるから、

$(1-3i) + (1+3i) + \alpha = 3$

$2 + \alpha = 3$

$\alpha = 1$

よって、3つの解は $1-3i, 1+3i, 1$ である。

解と係数の関係より、

$a = (1-3i)(1+3i) + (1-3i)(1) + (1+3i)(1) = (1+9) + 1-3i + 1+3i = 10 + 2 = 12$

$b = (1-3i)(1+3i)(1) = (1+9)(1) = 10$

$x = 1-3i$ をもとの方程式に代入して確かめてみる。

$(1-3i)^3 - 3(1-3i)^2 + a(1-3i) - b = 0$

$(1 - 9i - 27 + 27i) - 3(1 - 6i - 9) + a(1-3i) - b = 0$

$(-26 + 18i) - 3(-8 - 6i) + a(1-3i) - b = 0$

$-26 + 18i + 24 + 18i + a(1-3i) - b = 0$

$-2 + 36i + a - 3ai - b = 0$

$(a - b - 2) + (36 - 3a)i = 0$

$a - b - 2 = 0$ かつ $36 - 3a = 0$

$a = 12$

$12 - b - 2 = 0$

$b = 10$

したがって、$a = 12, b = 10, x = 1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 12$

$b = 10$

$x = 1$