与えられた数式を簡略化すること。数式は次の通りです。 $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 \}$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化すること。数式は次の通りです。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 \}$

2. 解き方の手順

まず、中括弧の中の式を簡略化します。

$2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 = 2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$

次に、この結果を与えられた数式に代入します。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 3 \cdot 2^{n-1} - 1 \} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

分配法則を用いて展開します。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = \frac{3}{2} \cdot (2^{n-1})^2 - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot 2^{2(n-1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$

$2^{2(n-1)} = 2^{2n-2}$なので、

$\frac{3}{2} \cdot 2^{2n-2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \cdot 2^{2n-2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$