与えられた数式 $\{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ を簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ を簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$\{2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1\}$ は、

$\{2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1\}$ となります。

次に、指数法則 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ を用いて、$2 \cdot 2^{n-1}$ を簡略化します。

$2 \cdot 2^{n-1} = 2^1 \cdot 2^{n-1} = 2^{1 + (n-1)} = 2^n$ となります。

したがって、式は $\{2^n + 2^{n-1} - 1\}$ となります。

$2^{n-1}$ を $2^n$ で表すために、$2^{n-1} = \frac{2^n}{2}$ を用います。

すると、式は $\{2^n + \frac{2^n}{2} - 1\}$ となります。

$2^n$ でくくると、$\{2^n (1 + \frac{1}{2}) - 1\}$ となり、

これは $\{2^n (\frac{3}{2}) - 1\}$ となります。

最終的に、式は $\{\frac{3}{2} \cdot 2^n - 1\}$ となります。これは $3 \cdot 2^{n-1} - 1$ とも書けます。

3. 最終的な答え

$3 \cdot 2^{n-1} - 1$