2つの直線 $ax + y + 5 = 0$ と $x + 2y - 3 = 0$ が与えられている。これらの直線が平行となるような $a$ の値と、垂直となるような $a$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + y + 5 = 0$ と $x + 2y - 3 = 0$ が与えられている。これらの直線が平行となるような $a$ の値と、垂直となるような $a$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行となる条件：

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行であるための条件は、

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ が成り立つことです。

今回の問題では、$a_1 = a$, $b_1 = 1$, $a_2 = 1$, $b_2 = 2$ なので、

$\frac{a}{1} = \frac{1}{2}$

これを解くと、$a = \frac{1}{2}$ となります。

(2) 垂直となる条件：

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直であるための条件は、$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ が成り立つことです。

今回の問題では、$a_1 = a$, $b_1 = 1$, $a_2 = 1$, $b_2 = 2$ なので、

$a \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0$

$a + 2 = 0$

これを解くと、$a = -2$ となります。

3. 最終的な答え

平行となるような $a$ の値は $\frac{1}{2}$ であり、垂直となるような $a$ の値は $-2$ である。