数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 4a_n + 1$ で与えられているとき、$a_2$の値、一般項 $a_n$、 $a_{n+2}-a_n$ を5で割った余りの値、数列 $a_n$ を5で割った余りを $b_n$ とするときの $b_1, b_4, b_5$ の値、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 4a_n + 1$ で与えられているとき、$a_2$の値、一般項 $a_n$、 $a_{n+2}-a_n$ を5で割った余りの値、数列 $a_n$ を5で割った余りを $b_n$ とするときの $b_1, b_4, b_5$ の値、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_2$ を計算する。

$a_2 = 4a_1 + 1 = 4(1) + 1 = 5$

次に、$a_{n+1} = 4a_n + 1$ を解いて一般項 $a_n$ を求める。

$a_{n+1} + \frac{1}{3} = 4(a_n + \frac{1}{3})$

$a_n + \frac{1}{3} = (a_1 + \frac{1}{3})4^{n-1}$

$a_n + \frac{1}{3} = (1 + \frac{1}{3})4^{n-1}$

$a_n + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}4^{n-1}$

$a_n = \frac{4}{3}4^{n-1} - \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3}(4^n - 1)$

次に、$a_{n+2} - a_n$ を計算する。

$a_{n+2} - a_n = \frac{1}{3}(4^{n+2} - 1) - \frac{1}{3}(4^n - 1)$

$a_{n+2} - a_n = \frac{1}{3}(4^{n+2} - 4^n)$

$a_{n+2} - a_n = \frac{1}{3}(16 \cdot 4^n - 4^n)$

$a_{n+2} - a_n = \frac{1}{3}(15 \cdot 4^n)$

$a_{n+2} - a_n = 5 \cdot 4^n$

したがって、$a_{n+2} - a_n$ は5で割り切れるので、余りは0である。

次に、$b_n$ を計算する。 $a_n$ を5で割った余りが $b_n$ である。

$b_1 = a_1 \pmod{5} = 1 \pmod{5} = 1$

$a_4 = \frac{1}{3}(4^4 - 1) = \frac{1}{3}(256 - 1) = \frac{255}{3} = 85$

$b_4 = 85 \pmod{5} = 0$

$a_5 = \frac{1}{3}(4^5 - 1) = \frac{1}{3}(1024 - 1) = \frac{1023}{3} = 341$

$b_5 = 341 \pmod{5} = 1$

次に、$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k$ を計算する。

$b_k$ は $a_k$ を5で割った余りなので、$b_k$ は 0, 1, 2, 3, 4 のいずれかの値を取る。

$a_1 = 1, a_2 = 5, a_3 = 21, a_4 = 85, a_5 = 341, a_6 = 1365$

$b_1 = 1, b_2 = 0, b_3 = 1, b_4 = 0, b_5 = 1, b_6 = 0$

一般に、$b_n = \frac{4^n - 1}{3} \pmod{5}$

$4^n \pmod{5}$ は 4, 1, 4, 1,... を繰り返す。

$4^n - 1 \pmod{5}$ は 3, 0, 3, 0,... を繰り返す。

$\frac{4^n - 1}{3} \pmod{5}$ は 1, 0, 1, 0,... を繰り返す。

したがって、$b_n = 1 (n:\text{odd}), 0 (n:\text{even})$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} b_{2k-1} + \sum_{k=1}^{n} a_{2k} b_{2k}$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} \cdot 1 + \sum_{k=1}^{n} a_{2k} \cdot 0 = \sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}(4^{2k-1} - 1)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}(4^{2k-1} - 1) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (4^{2k-1} - 1) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (4^{2k-1}) - \frac{n}{3}$

$\sum_{k=1}^{n} 4^{2k-1} = 4 + 4^3 + 4^5 + ... + 4^{2n-1} = \frac{4(16^n - 1)}{16 - 1} = \frac{4}{15}(16^n - 1)$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \frac{1}{3} \frac{4}{15}(16^n - 1) - \frac{n}{3} = \frac{4}{45}(16^n - 1) - \frac{n}{3}$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \frac{4(16^n - 1) - 15n}{45}$

3. 最終的な答え

$a_2 = 5$

$a_n = \frac{1}{3}(4^n - 1)$

$a_{n+2} - a_n$ を5で割った余り = 0

$b_1 = 1$, $b_4 = 0$, $b_5 = 1$

$\sum_{k=1}^{2n} a_k b_k = \frac{4(16^n - 1) - 15n}{45}$