行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列をそれぞれ求める。

## 問1

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$の逆行列を求める。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、$\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられる。

行列$A$の場合、$ad-bc = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$。

よって、$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

次に、$B$の逆行列を求める。

$B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$B$の逆行列を求めるには、掃き出し法を用いる。

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

まず1行目を1/4倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/4 & | & 1/4 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/4 & | & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 7/4 & | & 1/4 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を1/3倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/4 & | & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 7/12 & | & 1/12 & 1/3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の2倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/4 & | & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 7/12 & | & 1/12 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 13/6 & | & 1/6 & 2/3 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を6/13倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/4 & | & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 7/12 & | & 1/12 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/13 & 4/13 & 6/13 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の1/4倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 34/13 & 1/13 & 3/26 \\ 0 & 1 & 7/12 & | & 1/12 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/13 & 4/13 & 6/13 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の7/12倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 34/13 & 1/13 & 3/26 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/26 & 1/13 & -7/26 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/13 & 4/13 & 6/13 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/26& 1/13& -7/26 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/13& 2/3& -1/6 \\ 1/13& 4/13& 6/13 \end{pmatrix}$

## 問2

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$の行列式を求める。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の行列式は、$ad-bc$ で与えられる。

行列$A$の場合、$ad-bc = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$。

次に、$B$の行列式を求める。

$B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

行列$B$の行列式は、次のように計算できる。

$|B| = 4 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}$

$= 4(3\cdot1 - 2\cdot(-2)) - 0 + (-1)((-1)\cdot(-2) - 3\cdot0)$

$= 4(3 + 4) - (2 - 0)$

$= 4(7) - 2$

$= 28 - 2 = 26$

3. 最終的な答え

$|A| = -1$

$|B| = 26$