与えられた等比数列の一般項とその第5項を求める問題です。数列は全部で3つあります。

1. 問題の内容

与えられた等比数列の一般項とその第5項を求める問題です。数列は全部で3つあります。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号です。

それぞれの数列について、$a_1$ と $r$ を求め、一般項を求め、そして $n=5$ の時の値を求めます。

(1) 数列: $5, -10, 20, \dots$

- 初項 $a_1 = 5$

- 公比 $r = \frac{-10}{5} = -2$

- 一般項: $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$

- 第5項: $a_5 = 5 \cdot (-2)^{5-1} = 5 \cdot (-2)^4 = 5 \cdot 16 = 80$

(2) 数列: $\sqrt{2}, 4, 8\sqrt{2}, \dots$

- 初項 $a_1 = \sqrt{2}$

- 公比 $r = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

- 一般項: $a_n = \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2})^{n-1} = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{8})^{n-1} = \sqrt{2} \cdot (8)^{\frac{n-1}{2}}$

- 第5項: $a_5 = \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2})^{5-1} = \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2})^4 = \sqrt{2} \cdot (16 \cdot 4) = \sqrt{2} \cdot 64 = 64\sqrt{2}$

(3) 数列: $-\frac{1}{4}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{9}, \dots$

- 初項 $a_1 = -\frac{1}{4}$

- 公比 $r = \frac{\frac{1}{6}}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{6} \cdot (-4) = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

- 一般項: $a_n = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

- 第5項: $a_5 = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{5-1} = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^4 = -\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{81} = -\frac{16}{324} = -\frac{4}{81}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $5 \cdot (-2)^{n-1}$、第5項: $80$

(2) 一般項: $\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2})^{n-1}$、第5項: $64\sqrt{2}$

(3) 一般項: $-\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$、第5項: $-\frac{4}{81}$