(1) 放物線 $y = x^2 + 2(k-4)x + k^2$ と $x$ 軸との共有点の個数を、定数 $k$ の値によって分類して求めます。 (2) 放物線 $y = 4x^2 - (k-1)x + 4$ が $x$ 軸と接するような定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 + 2(k-4)x + k^2$ と $x$ 軸との共有点の個数を、定数 $k$ の値によって分類して求めます。

(2) 放物線 $y = 4x^2 - (k-1)x + 4$ が $x$ 軸と接するような定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 + 2(k-4)x + k^2$ について、判別式 $D$ を計算します。

$D/4 = (k-4)^2 - k^2 = k^2 - 8k + 16 - k^2 = -8k + 16 = 16 - 8k$

$D > 0$ ならば $x$ 軸と 2 点で交わり、$D = 0$ ならば $x$ 軸と 1 点で接し、$D < 0$ ならば $x$ 軸と共有点を持ちません。

したがって、$16 - 8k > 0$, $16 - 8k = 0$, $16 - 8k < 0$ のそれぞれの場合を考えます。

(2) 放物線 $y = 4x^2 - (k-1)x + 4$ について、判別式 $D$ を計算します。$x$ 軸と接するということは、$D = 0$ となることです。

$D = (k-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = (k-1)^2 - 64 = 0$

これを解いて $k$ の値を求めます。

求めた $k$ の値を $y = 4x^2 - (k-1)x + 4$ に代入し、$y = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが接点の $x$ 座標です。$y$ 座標は 0 です。

3. 最終的な答え

(1)

$16 - 8k > 0$ のとき、つまり $k < 2$ のとき、共有点は 2 個。

$16 - 8k = 0$ のとき、つまり $k = 2$ のとき、共有点は 1 個。

$16 - 8k < 0$ のとき、つまり $k > 2$ のとき、共有点は 0 個。

(2)

$(k-1)^2 - 64 = 0$

$(k-1)^2 = 64$

$k - 1 = \pm 8$

$k = 1 \pm 8$

$k = 9, -7$

$k = 9$ のとき、 $y = 4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x-1)^2$

よって、接点の座標は $(1, 0)$。

$k = -7$ のとき、 $y = 4x^2 - (-8)x + 4 = 4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1) = 4(x+1)^2$

よって、接点の座標は $(-1, 0)$。

したがって、$k = 9$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$。

$k = -7$ のとき、接点の座標は $(-1, 0)$。