放物線 $y = 2x^2 - 4x$ を平行移動して、次の放物線に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。 (1) $y = 2x^2$ (2) $y = 2x^2 + 4x - 3$

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x$ を平行移動して、次の放物線に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。

(1) $y = 2x^2$

(2) $y = 2x^2 + 4x - 3$

2. 解き方の手順

放物線の平行移動を考えるには、平方完成して頂点を比較するのが有効です。

まず、$y = 2x^2 - 4x$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x)$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1)$

$y = 2((x-1)^2 - 1)$

$y = 2(x-1)^2 - 2$

したがって、放物線 $y = 2x^2 - 4x$ の頂点は $(1, -2)$ です。

(1) $y = 2x^2$ の頂点は $(0, 0)$ です。

$(1, -2)$ を $(0, 0)$ に移動するには、$x$ 方向に $-1$、 $y$ 方向に $2$ だけ平行移動すればよいです。

(2) $y = 2x^2 + 4x - 3$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) - 3$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = 2((x+1)^2 - 1) - 3$

$y = 2(x+1)^2 - 2 - 3$

$y = 2(x+1)^2 - 5$

したがって、放物線 $y = 2x^2 + 4x - 3$ の頂点は $(-1, -5)$ です。

$(1, -2)$ を $(-1, -5)$ に移動するには、$x$ 方向に $-2$、 $y$ 方向に $-3$ だけ平行移動すればよいです。

3. 最終的な答え

(1) $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動

(2) $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動