3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ が実数解をいくつ持つかを求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ が実数解をいくつ持つかを求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x) = x^3 - 6x + 3$ を考えます。実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数に等しくなります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

次に、$f(x)$ の増減表を作成します。

| x | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | $\sqrt{2}$ | ... |

|------------|--------------|-------------|--------------|------------|--------------|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

ここで、$4\sqrt{2} + 3 > 0$ であり、$-4\sqrt{2} + 3 \approx -4 \times 1.414 + 3 \approx -5.656 + 3 = -2.656 < 0$ であることに注意します。

したがって、$f(-\sqrt{2})$ は正の値、 $f(\sqrt{2})$ は負の値をとります。

$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ です。

増減表と極値の符号から、$y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と3回交わることがわかります。

3. 最終的な答え

3個