$a$ を正の数とするとき、2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ を持つとき、$a$ と $p$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a$ を正の数とするとき、2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ を持つとき、$a$ と $p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$p$ と $q$ は $x^2 - ax + 1 = 0$ の解なので、解と係数の関係から、

$p + q = a$

$pq = 1$

また、$p - q = 1$ である。

$p + q = a$ と $p - q = 1$ より、

$2p = a + 1$

$p = \frac{a+1}{2}$

$p - q = 1$ より $q = p - 1$。 $pq = 1$ に代入すると、

$p(p-1) = 1$

$p^2 - p - 1 = 0$

解の公式より、

$p = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$p - q = 1$ より $p > q$ である。 また、$pq = 1$ より $p$ と $q$ は同符号である。

$p$ と $q$ は実数解なので、$p>0$ と $q>0$ でなければならない。

したがって、$p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$p = \frac{a+1}{2}$ より、

$a = 2p - 1 = 2(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - 1 = 1 + \sqrt{5} - 1 = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$