$x, y$ が次の3つの不等式を同時に満たすとき、$2x+y$ の最大値と最小値を求める問題です。 $-x+3y \le 8$ $x+y \ge 4$ $-x+y \ge 0$

1. 問題の内容

$x, y$ が次の3つの不等式を同時に満たすとき、$2x+y$ の最大値と最小値を求める問題です。

$-x+3y \le 8$

$x+y \ge 4$

$-x+y \ge 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理し、領域を図示します。

(1) $-x + 3y \le 8 \implies y \le \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

(2) $x + y \ge 4 \implies y \ge -x + 4$

(3) $-x + y \ge 0 \implies y \ge x$

次に、これらの不等式を満たす領域をxy平面に図示します。

次に、$2x+y = k$ とおき、$y = -2x + k$ と変形します。これは傾きが-2、y切片がkの直線を表します。

この直線が、上記の不等式を満たす領域と共有点を持つようなkの最大値と最小値を求めます。

領域の頂点の座標を求めます。

(1)と(2)の交点：$-x+3y=8$と$x+y=4$を連立して解くと、

$4y=12$より$y=3$、$x=1$なので、$(1, 3)$

(1)と(3)の交点：$-x+3y=8$と$-x+y=0$を連立して解くと、

$-x+3x=8$より$2x=8$、$x=4$、$y=4$なので、$(4, 4)$

(2)と(3)の交点：$x+y=4$と$-x+y=0$を連立して解くと、

$2y=4$より$y=2$、$x=2$なので、$(2, 2)$

次に、これらの頂点の座標を$2x+y$に代入して、それぞれの値を計算します。

$(1, 3)$のとき、$2(1)+3 = 5$

$(4, 4)$のとき、$2(4)+4 = 12$

$(2, 2)$のとき、$2(2)+2 = 6$

したがって、$2x+y$の最大値は12、最小値は5となります。

3. 最終的な答え

最大値：12

最小値：5