与えられた漸化式によって定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。具体的には、以下の4つの数列の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$ (3) $a_1 = 1, a_{n+1} = 9 - 2a_n$ (4) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$

1. 問題の内容

与えられた漸化式によって定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。具体的には、以下の4つの数列の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} = 9 - 2a_n$

(4) $a_1 = 0, 2a_{n+1} - 3a_n = 1$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を変形します。

$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = 3a_n - 2\alpha$ より、$-2\alpha = -2$ なので、$\alpha = 1$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ となります。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、これは公比3の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ なので、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = b_n + 1 = 3^{n-1} + 1$ となります。

(2)

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 2$ を変形します。

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3}(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + \frac{2}{3}\alpha$ より、$\frac{2}{3}\alpha = 2$ なので、$\alpha = 3$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)$ となります。

$b_n = a_n - 3$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{3}b_n$ となり、これは公比$\frac{1}{3}$の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$ なので、$b_n = -2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = b_n + 3 = -2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + 3 = 3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ となります。

(3)

漸化式 $a_{n+1} = 9 - 2a_n$ を変形します。

$a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = -2a_n + 3\alpha$ より、$3\alpha = 9$ なので、$\alpha = 3$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 3 = -2(a_n - 3)$ となります。

$b_n = a_n - 3$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$ となり、これは公比-2の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$ なので、$b_n = -2 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n$ となります。

したがって、$a_n = b_n + 3 = (-2)^n + 3$ となります。

(4)

漸化式 $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ を変形します。

$2a_{n+1} = 3a_n + 1$

$a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$

$a_{n+1} - \alpha = \frac{3}{2}(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n - \frac{1}{2}\alpha$ より、$-\frac{1}{2}\alpha = \frac{1}{2}$ なので、$\alpha = -1$ となります。

したがって、$a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2}(a_n + 1)$ となります。

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{3}{2}b_n$ となり、これは公比$\frac{3}{2}$の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$ なので、$b_n = 1 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$ となります。

したがって、$a_n = b_n - 1 = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_n = 3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

(3) $a_n = (-2)^n + 3$

(4) $a_n = \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 1$