$x$と$y$は実数であり、$x^2 + 2y^2 = 1$を満たします。このとき、$F = x + 3y^2$について、以下の問いに答えます。 (1) $x$の取りうる値の範囲を求めます。 (2) $F$の最大値を求め、そのときの$x$と$y$の値を求めます。 (3) $F$の最小値を求め、そのときの$x$と$y$の値を求めます。

1. 問題の内容

$x$と$y$は実数であり、$x^2 + 2y^2 = 1$を満たします。このとき、$F = x + 3y^2$について、以下の問いに答えます。

(1) $x$の取りうる値の範囲を求めます。

(2) $F$の最大値を求め、そのときの$x$と$y$の値を求めます。

(3) $F$の最小値を求め、そのときの$x$と$y$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x$の取りうる値の範囲を求める。

条件式$x^2 + 2y^2 = 1$より、$2y^2 = 1 - x^2$です。$y$は実数なので、$2y^2 \geq 0$です。

したがって、$1 - x^2 \geq 0$、つまり$x^2 \leq 1$となります。

これから、$-1 \leq x \leq 1$が得られます。

(2) $F$の最大値を求める。

$x^2 + 2y^2 = 1$より、$2y^2 = 1 - x^2$なので、$y^2 = \frac{1 - x^2}{2}$です。

$F = x + 3y^2$に代入すると、$F = x + 3(\frac{1 - x^2}{2}) = x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x^2$となります。

$F$を$x$について平方完成すると、

$F = -\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{10}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{3}$

$x = \frac{1}{3}$のとき、$F$は最大値$\frac{5}{3}$をとります。

このとき、$x = \frac{1}{3}$なので、$2y^2 = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$。

$y^2 = \frac{4}{9}$となり、$y = \pm \frac{2}{3}$です。

(3) $F$の最小値を求める。

$F = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{3}$なので、$x$の範囲$-1 \leq x \leq 1$において、$x = -1$のとき$F$は最小値をとります。

$x = -1$を代入すると、$F = -1 + 3y^2$。

$x^2 + 2y^2 = 1$に$x = -1$を代入すると、$(-1)^2 + 2y^2 = 1$。

$1 + 2y^2 = 1$より、$2y^2 = 0$なので、$y = 0$です。

したがって、$F = -1 + 3(0)^2 = -1$となります。

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq x \leq 1$

(2) 最大値: $\frac{5}{3}$、そのときの$x$: $\frac{1}{3}$、$y$: $\pm \frac{2}{3}$

(3) 最小値: $-1$、そのときの$x$: $-1$、$y$: $0$