8人の生徒を、(1) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける方法の数、(3) 4人、2人、2人の3組に分ける方法の数を求める問題です。

1. 問題の内容

8人の生徒を、(1) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける方法の数、(3) 4人、2人、2人の3組に分ける方法の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 8人から4人を選ぶ組み合わせを求めます。これは $_8C_4$ で計算できます。

次に、残りの4人は自動的にBの組になるので、これで場合分けは完了です。

ただし、AとBの区別があるため、これで終了です。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(3) 8人から4人を選ぶ組み合わせを求めます。これは $_8C_4$ で計算できます。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせを求めます。これは $_4C_2$ で計算できます。

最後に、残りの2人は自動的に最後の組になるので、これで場合分けは完了です。

ただし、2人の組が2つあるので、それらの区別をなくすために2!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの数は、

$\frac{_8C_4 \times _4C_2}{2!} = \frac{\frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!}}{2} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{2} = \frac{70 \times 6}{2} = 210$

3. 最終的な答え

(1) 70通り

(3) 210通り