問題は、方程式 $x + y + z = 12$ を満たす $x, y, z$ の組の数を求めるものです。ただし、以下の2つの条件でそれぞれ求めます。 (1) $x, y, z$ は負でない整数 (2) $x, y, z$ は自然数

1. 問題の内容

問題は、方程式 $x + y + z = 12$ を満たす $x, y, z$ の組の数を求めるものです。ただし、以下の2つの条件でそれぞれ求めます。

(1) $x, y, z$ は負でない整数

(2) $x, y, z$ は自然数

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ が負でない整数の場合

この問題は、重複組み合わせの問題として解くことができます。

$x, y, z$ は負でない整数なので、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ です。

このとき、$x + y + z = 12$ を満たす整数の組み合わせの数は、12個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる場合の数と同じです。

重複組み合わせの公式を使うと、

$_{n}H_{r} = \ _{n+r-1}C_{r}$

ここで、$n = 3$ (変数の数) と $r = 12$ (合計) です。

したがって、求める組み合わせの数は

$_{3}H_{12} = \ _{3+12-1}C_{12} = \ _{14}C_{12} = \ _{14}C_{2} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 7 \times 13 = 91$

(2) $x, y, z$ が自然数の場合

この場合、$x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ です。

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z'$ は負でない整数となります。

$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$ を $x + y + z = 12$ に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 12$

$x' + y' + z' = 12 - 3 = 9$

$x', y', z'$ は負でない整数なので、再び重複組み合わせの公式を使うことができます。

$n = 3$ (変数の数) と $r = 9$ (合計) です。

したがって、求める組み合わせの数は

$_{3}H_{9} = \ _{3+9-1}C_{9} = \ _{11}C_{9} = \ _{11}C_{2} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 11 \times 5 = 55$

3. 最終的な答え

(1) 91個

(2) 55個