6つの区画に分かれた円板があり、隣り合う区画は異なる色で塗り分ける。 (1) 異なる6色すべてを使う場合、(2) 異なる5色すべてを使う場合、(3) 異なる3色すべてを使う場合の塗り分け方をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

6つの区画に分かれた円板があり、隣り合う区画は異なる色で塗り分ける。

(1) 異なる6色すべてを使う場合、(2) 異なる5色すべてを使う場合、(3) 異なる3色すべてを使う場合の塗り分け方をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 6色すべてを使う場合

6つの区画を6色で塗り分ける。

まず1つの区画を塗り、次に隣の区画を塗り進めていく。

1つ目の区画は6色から選べる。

2つ目の区画は残りの5色から選べる。

3つ目の区画は残りの4色から選べる。

4つ目の区画は残りの3色から選べる。

5つ目の区画は残りの2色から選べる。

6つ目の区画は残りの1色から選べる。

ただし、円形なので、回転して同じになる塗り方は同じとみなす必要がある。

この場合は、まず一つを固定して考えれば良い。

したがって、$6!$ で計算される。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 5色すべてを使う場合

6つの区画を5色で塗り分けるということは、どこか2つの区画が同じ色になる必要がある。

このとき、同じ色になる区画は隣り合わない必要がある。

円の中心の区画は、周囲の区画と隣り合っているため、周囲のいずれかの区画と同じ色で塗る必要がある。

5色のうち1色を2つの区画に塗り、残りの4色を他の4つの区画に塗ることになる。

2つの区画が同じ色になる組み合わせを考える。

周囲の5つの区画のうち、隣り合わない2つの区画を選ぶ組み合わせは5通り。中心の区画ともう一つの区画を選ぶ組み合わせは5通り。計10通り。

5色から1色を選ぶ方法は5通り。

残りの4つの区画を4色で塗る方法は4! = 24通り。

したがって、$5 \times (5 \times 24)$ではない。

2つの区画が同じ色の場合を考えると、例えば中心の区画と周囲の区画を同じ色にした場合、周囲の残りの4つの区画を4色で塗り分けることになる。周囲の5つの区画のうち、隣り合わない2つの区画を同じ色にした場合も考える。

5つの区画のうち1つを固定し、残りの4つの区画の色を検討する。

隣り合う区画が異なる色になるように注意して塗り分ける。

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

(3) 3色すべてを使う場合

6つの区画を3色で塗り分けるということは、同じ色が複数回使われる必要がある。

3色をA, B, Cとすると、例えばA,B,C,A,B,CやA,B,A,B,C,Cなどのパターンがある。

中心の区画と周囲の区画の色が異なる必要があるため、まずは中心の色を決定し、次に周囲の区画の色を決定する。

中心の色は3通り。

周りの5つの区画の色の塗り方を考える。

(1) 6色全てを使う場合: 720

(2) 5色全てを使う場合:

まず、6つの区画から同じ色で塗る2つの区画を選ぶ。

隣り合わない区画を選ぶ方法は5通り。

5色から1色選び、その色を2つの区画に塗る。残りの4区画を4色で塗る。

5色から1色を選ぶ方法は5通り。

残りの4区画に4色を塗る方法は$4! = 24$通り。

$5 \times 24 = 120$通り。

円順列ではないので、固定する必要はない。

5色を使う場合、どこかの隣り合う２箇所が同じ色になるパターンが存在する。

$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

（円順列の考え方で、１つ固定して考えるとそうなる）

5色の時：360

(3) 3色の時：30

3. 最終的な答え

(1) 6色すべてを使う場合：720通り

(2) 5色すべてを使う場合：360通り

(3) 3色すべてを使う場合：30通り