円板が6つの区画に分けられており、隣り合う区画は異なる色で塗り分けるという条件で、指定された色数を使って塗り分ける方法の数を求める問題です。 (1) 異なる6色すべてを使う場合 (2) 異なる5色すべてを使う場合 (3) 異なる3色すべてを使う場合

1. 問題の内容

円板が6つの区画に分けられており、隣り合う区画は異なる色で塗り分けるという条件で、指定された色数を使って塗り分ける方法の数を求める問題です。

(1) 異なる6色すべてを使う場合

(2) 異なる5色すべてを使う場合

(3) 異なる3色すべてを使う場合

2. 解き方の手順

各区画をA, B, C, D, E, Fとします。

(1) 6色すべてを使う場合

Aから順に色を塗っていくことを考えます。

* Aの塗り方は6通り。

* Bの塗り方はAの色と異なるので5通り。

* Cの塗り方はA, Bの色と異なるので4通り。

* Dの塗り方はA, Cの色と異なるので4通り。

* Eの塗り方はA, Dの色と異なるので4通り。

* Fの塗り方はEの色とAの色が異なるので、場合分けします。

* AとCの色が同じ場合、Fの塗り方は5通り。

* AとCの色が異なる場合、Fの塗り方は4通り。

しかし、この方法は複雑になるため、別の方法で考えます。

6色を円順列に並べる順列を考え、反転させても同じものは除くと、$(6-1)!/2 = 5! = 120/2 = 60$　通り。

したがって、塗り方は$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$通り

(2) 5色すべてを使う場合

6つの区画を5色で塗るということは、どこかの2つの区画が同じ色になる必要があります。

A, B, C, D, E, Fのうち、AとCが同じ色になる場合を考えます。

* Aの塗り方は5通り。

* Bの塗り方はAの色と異なるので4通り。

* Cの塗り方はAと同じなので1通り。

* Dの塗り方はA, Cの色と異なるので4通り

* Eの塗り方はA, Dの色と異なるので3通り。

* Fの塗り方はE, Aの色と異なるので3通り。

したがって、塗り方は$5 \times 4 \times 1 \times 3 \times 3 = 180$通り。

同様に考えると、AとC、BとDなどが同じ色になる場合の数が考えられます。

別の考え方として、向かい合わせの色が同じになる塗り方を考えます。

5色のうち1色を2回使う場合を考えます。

どの色を2回使うかを選ぶのは5通り。

どの隣り合わない2つの領域を同じ色にするか選びます。向かい合った領域は3通り。

残りの領域に4色を塗る方法は4! = 24。

なので、$5 \times 3 \times 4! = 360$。

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times$

(3) 3色すべてを使う場合

3色すべてを使うということは、どこかの2つの区画が同じ色になる必要が複数個所あります。

3色すべて使う時、3色をA, B, Cとしたとき、たとえばA, C、B, Dが同じ色になる場合を考えます。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 30通り

(3) 6通り